Définition

\(\triangleright\) Définition de l'accélération :

• \(\vec v(t)\) varie \(\implies\) \(M\) subit une accélération

$$\vec a = \lim_{t\to t'}\left(\frac{\vec v'-\vec v}{t'-t}\right) = \frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}$$

Expression

\(\triangleright\) Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes :

$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt}$$
$$= \frac{dv_x}{dt}\vec e_x + \frac{dv_y}{dt} \vec e_y+ \frac{dv_z}{dt}\vec e_z$$

\(\triangleright\) Expression du vecteur accélération en coordonnées polaires :

Accélération coordonnées polaires Système de coordonnées Polaires

\(\triangleright\) Expression du vecteur accélération en coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet) :

On sait que \(\vec v = ||\vec v||\vec u_\tau = |v|\vec u_\tau\)
$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec u_\tau + v\frac{d\vec u_{\tau}}{dt}$$
On cherche \(\frac{d\vec u_\tau}{dt}\):

• puisque les points \(M\) et \(M'\) sont très proches, on peut estimer la trajectoire entre ces deux points comme un arc de cercle

$$\vec u_\tau(t+dt) = \cos(d\phi)\vec u_\tau(t) + \sin(d\phi)\vec u_N(t)$$
Comme les angles sont petits, on a : $$\vec u_\tau(t+dt) =\vec u_\tau(t) + d\phi\vec u_N(t)$$
$$u_\tau (d+dt) - u_\tau(t) = d\phi. \vec u_N(t)$$
$$d\vec u_\tau = d\phi.\vec u_N(t)$$
$$\frac{d\vec u_\tau}{dt} = \frac{d\phi}{dt}\vec u_N(t)$$
Or, on a : $$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d\phi}{ds}\times\frac{ds}{dt} = \frac{d\phi}{ds}v$$
Or,
$$ds = R\times d\phi \longrightarrow \frac{d\phi}{ds} = \frac 1R$$
Ainsi,
$$\frac{d\vec u_\tau}{dt} = \frac 1Rv.\vec u_N(t)$$
Enfin,
$$\vec a = \frac{dv(t)}{dt}\vec u_\tau+ \frac {v(t)^2}R\vec u_N(t)$$